LAS DOS DIFERENTES MANIFESTACIONES DE LA MASA
Consideremos qué representa la masa en la vida diaria: peso. Pensamos en la masa como algo que podemos pesar; nuestra forma de medir la masa de un objeto es ponerlo en una balanza. ¿Cuál propiedad de la masa estamos usando al hacer esto? El hecho de que el objeto y la Tierra se atraen mutuamente. Este tipo de masa es llamado masa gravitatoria. La llamamos "gravitatoria" debido a que determina el movimiento de todos los planetas y de todas las estrellas del Universo Las masas de la Tierra y del Sol hacen que la primera siga un movimiento casi circular alrededor del segundo.
Si tratamos de empujar un auto sobre una superficie plana, veremos que éste se resiste a la aceleración que tratamos de imponerle. Esto es porque el auto tiene una masa muy grande. Es más fácil mover un objeto liviano que uno pesado. La masa, entonces, puede definirse de otra manera: como la "resistencia a la aceleración". Este tipo de masa se conoce como masa inercial. De lo anterior podemos concluir que la masa puede ser percibida de dos formas: pesando un objeto o midiendo su resistencia a la aceleración (usando la segunda ley de Newton).
Se ha hecho muchos experimentos para medir la masa inercial y la masa gravitatoria del mismo objeto. Todos llevan a la misma conclusión: la masa inercial equivale (es igual) a la masa gravitatoria. Newton sabía que la equivalencia entre los dos tipos de masa no podía ser explicada por sus teorías; consideraba este resultado como una simple coincidencia. Por el contrario, Einstein vio en la mencionada igualdad una manera de reformular las teorías de Newton.
La experiencia cotidiana verifica la igualdad de que hablamos: dos objetos, uno pesado y el otro liviano, caen con la misma velocidad. Pero, si el objeto pesado es mayormente atraído por la Tierra que el liviano ¿por qué no cae más rápido? Porque su resistencia a la aceleración es mayor. De esto, concluimos que la aceleración de un objeto en un campo gravitatorio no depende de su masa. Galileo Galilei fue el primero en notarlo. Es importante entender que el hecho de que dos objetos caigan con la misma velocidad en un campo gravitatorio es una consecuencia directa de la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria (en mecánica clásica).
Detengámonos en la expresión "caer". El objeto "cae" como consecuencia del campo gravitatorio de la Tierra generado por la masa de la Tierra. Los movimientos de dos objetos serán iguales en cualquier campo gravitatorio, el de la Luna o el del Sol, por ejemplo. Los dos objetos se acelerarán en la misma medida. Esto significa que las velocidades de ambos aumentarán en la misma cantidad durante el mismo lapso. La aceleración es la medida del aumento (o disminución) de la velocidad de un cuerpo.
LA EQUIVALENCIA ENTRE MASA INERCIAL Y MASA GRAVITATORIA COMO ARGUMENTO DEL TERCER POSTULADO DE EINSTEIN
Einstein buscaba una explicación para lo siguiente: "La masa gravitatoria es igual a la masa inercial". Con este objetivo, él estableció su tercer postulado, conocido como Principio de la Equivalencia. Este postulado afirma que si un sistema cualquiera es uniformemente acelerado con relación a un sistema galileano, lo podemos considerar en reposo introduciendo la presencia de un campo gravitatorio uniforme relativo a él. Consideremos un sistema K', con un movimiento uniformemente acelerado con respecto a K, un sistema galileano. Hay muchos objetos alrededor de K y K'. Estos objetos están en reposo con respecto a K. con relación a K', estos objetos tienen un movimiento uniformemente acelerado. Esta aceleración es la misma para todos los objetos y es opuesta a la aceleración de K' respecto de K. Hemos dicho que todos los objetos acelerarán en la misma medida en un campo gravitacional. Así, el efecto es el mismo que si K' estuviera en reposo en presencia de un campo gravitacional uniforme. De esta manera, si establecemos el principio de equivalencia, la igualdad de los dos tipos de masa es una simple consecuencia de él. Por esto, la igualdad de las dos manifestaciones de la masa es un poderoso argumento a favor del Principio de la Equivalencia. Suponiendo que K' está en reposo y que existe un campo gravitacional uniforme, estamos haciendo de K' un sistema galileano en el que podemos estudiar las leyes de la mecánica. A partir de esto, Einstein estableció su cuarto postulado.
CUARTO POSTULADO DE EINSTEIN
El cuarto postulado de Einstein es una generalización del primero. Puede ser expresado de la siguiente forma: "Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos lo sistemas". No se puede negar que es más natural decir que las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas que sólo en los galileanos. Más aun, ni siquiera sabemos si realmente existe algún sistema galileano. Este principio es llamado Principio de la Relatividad General.
EL ASCENSOR
Consideremos un ascensor en caída libre, dentro de un altísimo rascacielos, con un hombre en su interior.
El hombre deja caer su reloj y su pañuelo ¿Qué pasa? Para alguien mirando la caída desde afuera del ascensor, cuyo sistema de referencia es la Tierra, el reloj, el pañuelo el hombre y el ascensor caen exactamente a la misma velocidad (recordemos que el movimiento de un cuerpo en un campo gravitatorio no depende de su masa, de acuerdo al principio de la equivalencia). Así, la distancia entre el reloj y el piso del ascensor, entre el pañuelo y el piso del ascensor, entre el hombre y el reloj o entre el hombre y el piso no varía. Por lo tanto, para el hombre dentro del ascensor, el reloj y el pañuelo permanecerán donde él los dejó. Ahora, si el hombre da a su reloj o a su pañuelo cierta velocidad, estos seguirán una línea recta con velocidad constante, lo que conduce a la siguiente conclusión: el hombre dentro del ascensor puede ignorar el campo gravitatorio de la Tierra. El ascensor se comporta como un sistema galileano, sin embargo, no lo hará para siempre. Tarde o temprano, se estrellará contra el suelo.
Pensemos en un segundo experimento: el ascensor está muy lejos de cualquiera masa considerable, en el espacio, por ejemplo. Nuevamente hay un hombre dentro del ascensor. De repente, algo comienza a tirar del ascensor.
La mecánica clásica nos dice que una fuerza constante provoca una aceleración constante (esto no ocurre así a muy altas velocidades, ya que la masa de un objeto aumenta con su velocidad, pero lo consideraremos cierto para efectos de nuestro experimento). Entonces, en un sistema galileano, el ascensor adquirirá un movimiento acelerado.
El hombre dentro del ascensor deja caer su reloj y su pañuelo. Alguien ubicado fuera del ascensor, en un sistema galileano, piensa que el pañuelo y el reloj golpearán el piso del ascensor cuando éste los alcance debido a su aceleración. Efectivamente, el observador fuera del ascensor verá que las distancias entre el reloj y el piso del ascensor y entre el pañuelo y el piso del ascensor disminuyen en la misma cantidad. Por otro lado, el hombre dentro del ascensor notará que su reloj y su pañuelo tienen la misma aceleración. Él lo atribuirá a la presencia de un campo gravitatorio. Estas dos interpretaciones parecen igualmente válidas: por un lado, un movimiento acelerado y por el otro, un movimiento uniforme y la presencia de un campo gravitacional.
Hagamos otra prueba para justificar la presencia de un campo gravitatorio. Un rayo de luz entra en el ascensor por un orificio y golpea la pared de enfrente. Otra vez tendremos dos interpretaciones. El hombre fuera del ascensor nos dice: "La luz entra al ascensor por el orificio horizontalmente en una línea recta y con velocidad constante hacia la pared opuesta. Pero el ascensor está subiendo, por lo tanto, la luz golpeará la pared no exactamente frente al orificio, sino un poco más abajo". El hombre dentro del ascensor dice: "Estoy en presencia de un campo gravitatorio. Como la luz no tiene masa, no será afectada por el campo y golpeará la pared exactamente enfrente del agujero por donde entró". Este hombre ha cometido un error. Dijo que la luz no tiene masa, pero la luz lleva energía y la energía tiene masa (recordemos que la masa M de una unidad de energía E es M=E/c2, donde c es la velocidad de la luz) En consecuencia, la luz seguirá una trayectoria curva hacia el piso del ascensor, como dijo el observador de afuera del ascensor.
Como la masa de la energía es muy pequeña (c2=300 000 000 * 300 000 000) el fenómeno sólo puede ser detectado en presencia de grandes campos gravitatorios, como el producido por la gran masa del Sol: los rayos de luz se curvan cuando se le acercan. El experimento que lo comprobó fue la primera confirmación de la teoría de Einstein. Todos estos experimentos nos permiten concluir que podemos considerar que un sistema acelerado es galileano sólo si se introduce la presencia de un campo gravitatorio. Esto es válido para cualquier tipo de movimiento, se trate de rotaciones (el campo gravitatorio explica la aparición de la fuerza centrífuga) o de movimientos acelerados no uniformemente (lo que se traduce, en matemáticas, en el hecho de que el campo no cumple la condición de Riemann). Como vemos, El Principio de la Relatividad General concuerda completamente con la experiencia. El ejemplo recién expuesto está tomado del libro "L'évolution des idées en Physique" (Champs Flammarion, 1982) escrito por Albert Einstein y Leopold Infeld. Un libro maravilloso. Debe ser leído por cualquiera que tenga interés en la física en general.
LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO
Seguramente, al estudiar la Relatividad Especial, fue difícil aceptar el hecho de que el tiempo se dilata. Einstein también descubrió otra extraña consecuencia de sus postulados: el mundo en el que vivimos no es euclidiano (en la mayoría de los casos). Esto significa que los círculos no son redondos, que dos líneas paralelas pueden cruzarse o alejarse entre ellas y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo puede no ser 180°. Esto no significa que los principios de la geometría euclidiana sean falsos. La geometría euclidiana, como una abstracción matemática, es siempre cierta. Pero cuando se trata de describir el mundo real, nada es seguro. Antes de que Einstein descubriera que la geometría euclidiana no es la única que describe el mundo, Gauss y Riemann desarrollaron otro tipo de geometría: la denominada Geometría Gaussiana. Cuando determinaban las bases de este nuevo área de las matemáticas, no podían imaginar que se iba a convertir en la más apropiada descripción del Universo. De hecho, Einstein, ayudado por su amigo Grossman (un buen matemático), trabajó en su teoría general de la relatividad basándose en la Geometría Gaussiana.
La matemática es desarrollada sin ninguna referencia a la realidad. Es una abstracción. Esto último se puede ilustrar de la siguiente manera: en matemáticas, la igualdad 1+1=2 siempre es verdadera. Pero cuando se le quiere dar a dicha expresión una interpretación física, algunas veces es falsa. Por ejemplo, no se puede sumar la velocidad de la luz a otra velocidad. Si recordamos la experiencia del tren (ejemplo clásico en la relatividad especial), no podemos sumar la velocidad del tren a la velocidad de los fotones emitidos desde el tren, esto es: "v + c = c".
Consideremos un gran disco sobre el cual se ha dibujado dos círculos concéntricos, uno muy pequeño y el otro casi tan grande como el disco.
Un observador está parado sobre el disco, que rota a una alta velocidad. Otro hombre, en un sistema galileano, mide la circunsferencia P de los dos círculos y sus diámetros d con una regla. Este hombre hace el siguiente cálculo: P/d=p. Para él, la geometría euclidiana describe correctamente la situación. El observador sobre el disco mide las circunsferencias y los diámetros con la misma regla. Para la medida de los diámetros, desde el punto de vista del hombre en el sistema galileano, el largo de la regla no se contrae (relatividad especial) por lo tanto, ambos observadores obtienen el mismo resultado. Ahora, el hombre en el disco, mide la circunsferencia del círculo pequeño. Para quien observa desde el sistema galileano, el largo de la regla no se contrae porque ésta va muy lentamente (está cerca del centro del disco). Nuevamente los dos observadores llegan al mismo resultado.
Cuando el hombre sobre el disco mide la circunsferencia del círculo grande, está avanzando a una velocidad muy alta con respecto al hombre fuera del disco. Entonces, desde el punto de vista de este ultimo, el largo de la regla se contrae y los resultados de ambos hombres no coinciden. Para el observador fuera del disco, P/d no es igual a p. La geometría euclidiana no describe la realidad en este caso. ¿Qué ha sucedido? Mientras medía la circunsferencia mayor, el observador en el disco, sufría la acción de una fuerza extraña. Es lo que comúnmente se llama "fuerza centrífuga" y se debe a la presencia de un campo gravitacional (simbolizado en el diagrama por las flechas).
El mismo experimento podría ser hecho para medir el tiempo usando un reloj en los tres diferentes sistemas: en el sistema galileano, en el círculo pequeño y en el círculo grande. Esto nos llevaría a un resultado similar: cuando el observador en el disco está lejos del centro, su medición del tiempo es diferente a la del hombre parado afuera del disco. La existencia de un campo gravitatorio explicaría la diferencia. Podemos decir que un campo gravitatorio influye en el tiempo y en el espacio. La dilatación del tiempo debida a la presencia de un campo gravitatorio se ha medido. El valor del campo gravitatorio en la cima de una alta montaña es ligeramente menor que su valor a nivel del mar. Dos relojes atómicos inicialmente sincronizados dan dos resultados diferentes después de haber pasado un tiempo en esos dos diferentes lugares.